PROBABILIDAD TERCER PARCIAL

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

ESPACIO MUESTRAL: El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadístico denotado por“S”o“Ω”

VARIABLE: Se denomina variable a la entidad que puede tomar un valor cualesquiera durante la duración de un proceso dado. Si la variable toma un solo valor durante el proceso se llama constante.

VARIABLE ALEATORIA: Es una función que asocia un número real a cada elemento del espacio muestral. Es decir son aquellas que pueden diferir de una respuesta a otra.

Una variable aleatoria se puede clasificar en:
Variable aleatoria discreta.
Variable aleatoria continua.

Variable aleatoria discreta. 

Una variable discreta proporciona datos que son llamados datos cuantitativos discretos y son respuestas numéricas que resultan de un proceso de conteo. 

-La cantidad de alumnos regulares en un grupo escolar. 
-El número de águilas en cinco lanzamientos de una moneda. 
-Número de circuitos en una computadora. 
-El número de vehículos vendidos en un día, en un lote de autos.

Variable aleatoria continua. 

Es aquella que se encuentra dentro de un intervalo comprendido entre dos valores cualesquiera; ésta puede asumir infinito número de valores y éstos se pueden medir.

-La estatura de un alumno de un grupo escolar. 
-El peso en gramos de una moneda. 
-La edad de un hijo de familia. 
-Las dimensiones de un vehículo.

DISTRIBUCIONES

Distribución de probabilidad. Es una distribución teórica de frecuencias que describe cómo se espera que varíen los resultados de un experimento. Existen diferentes tipos de modelos que permiten describir el comportamiento de fenómenos estadísticos que permiten hacer inferencias y tomar decisiones en condiciones de incertidumbre.

Distribuciones discretas. Son aquellas donde las variables asumen un número limitado de valores, por ejemplo el número de años de estudio.

-Binomial 
-Hipergeométrica 
-Multinomial 
-Poisson

Distribuciones continuas. Son aquellas donde las variables en estudio pueden asumir cualquier valor dentro de determinados límites; por ejemplo, la estatura de un estudiante.

     

Continuas:

-Uniforme
-Exponencial
-Normal

 

Una distribución de frecuencias es un listado de las frecuencias observadas de todos los resultados de un experimento que, en realidad se han presentado cuando se lleva a cabo un experimento; en cambio, una distribución de probabilidad es un listado de las probabilidades de todos los resultados posibles que podrían presentarse si se efectuara el experimento.

Las probabilidades que se asocian a cada uno de los valores que toma la variable aleatoria x constituyen lo que se conoce como DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD, la cual puede ser representada mediante una función matemática, una gráfica o una tabla de valores. La diferencia consiste en que la función matemática se transforma en una función probabilística.

Dados los eventos E1, E2, ..., En ⊂ S, se dice que x es una variable aleatoria, si a cada valor de xi que asume cada Ei, se le asocia su probabilidad de ocurrencia y cumple con las siguientes condiciones:

1. a)  La probabilidad para todo valor que asuma la variable aleatoria xi, será mayor o igual a cero pero menor que uno.
   0≤P(xi) ≤1∀xi
   
   
2. b)  La suma de todas las probabilidades asociadas a todos los valores que toma la variable x, es igual a la unidad.
   
   
   
   
   n
   ∑P(xi) =1
   
   
   1
   ∝
   
   
   
   
   ∫P(xi)dx =1
   
   
   −∝
   
   
   
   

   FUNCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS

   
   

   La distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta puede ser:

   1. 1.-  Una relación teórica de resultados y probabilidades que se puede obtener de un modelo matemático y que representa algún fenómeno de interés.
   2. 2.-  Una relación empírica de resultados y sus frecuencias relativas observadas. 
   3. 3.-  Una relación subjetiva de resultados relacionados con sus probabilidades subjetivas o artificiales que representan el grado de convicción del encargado en tomar decisiones sobre la probabilidad
      de posibles resultados.
      
      

   Sabemos que una variable aleatoria discreta o discontinua es aquella en la que existe una distancia bien definida entre dos de los valores consecutivos que asume; y dichos valores son numerales.

   
   

   Existen varios modelos matemáticos que representan diversos fenómenos discretos de la vida real.

   
   
   

   
   

   
   

   -La distribución uniforme discreta.

   
   

   -La distribución de probabilidad Binomial o de Bernoulli.

   -La distribución de probabilidad Hipergeométrica.

   -La distribución de probabilidad de Poisson.

   
   

   
   

   
   

   
   

   1. UNIFORME DISCRETA
      
      

   Si la variable aleatoria X asume valores de X1, X2, ..., Xk con iguales probabilidades, entonces la distribución uniforme es:

   
   

   
   

   f(x,k) = 1/k

   
   

   μ =  k ∑xi / K

           i=1 

   
   
   

   σ2 = k ∑xi(x −μ)2/ K

   i=1 
   
   
   
   
   
   PROBLEMAS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
   
   
   

   
   

   Encuentre la distribución de probabilidad de lanzar dos monedas y la variable aleatoria número de águilas.

   
   

   
   

   S {Lanzar dos monedas} 

   
   

   X Número de águilas

   
   

   0. 
      

      E0  Caen x = 0 águilas                    P(E0) = 1 /4

      
      
   1. 
      

      E1  Caen x = 1 águilas                    P(E1)=1/2

      
      
   2. 
      

      E2  Caen x = 2 águilas                    P(E2) = 1/4

      
      

   
   

   Existen ciertas características que diferencian a las distribuciones de probabilidad, llamadas momentos de la distribución que son: la media aritmética o esperanza matemática y la desviación 

   estándar. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   La distribución de probabilidad del lanzamiento de un dado es:

   
   

   S={1,2,3,4,5,6} 

   
   

   P(x = 1, 2, ..., 6) = 1/6

   
   

   
   

   
   

   
   

   μ = 1+2+3+4+5+6 / 6 = 3.5

   

   
   

   σ2= (1−3.5)2 +(2−3.5)2 +.....+(6−3.6)2 / 6 = 2.91

   
   

   
   

   
   

   
   

   DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

   
   

   

   Esta distribución fue elaborada por Jacobo Bernoulli y es aplicable a un gran número de problemas de carácter económico y en numerosas aplicaciones como:

   
   

   
   
   

   -Juegos de azar.

   
   

   -Control de calidad de un producto. 

   
   

   -En educación.

   -En las finanzas.

   
   

   
   

   La distribución binomial posee las siguientes propiedades esenciales:

   
   

   1.- El espacio muestral contiene n ensayos idénticos. 

   2.- Las observaciones posibles se pueden obtener mediante dos diferentes métodos de muestreo. Se puede considerar que cada observación se ha seleccionado de una población infinita sin reposición o de una población finita con reposición.

   3.- Cada observación se puede clasificar en una de dos categorías conocidas como éxito E o fracaso E', las cuales son mutuamente excluyentes es decir E ∩ E' = 0.

   4.- Las probabilidades de éxito p y de fracaso q = 1 - p en un ensayo se mantienen constantes, durante los n ensayos.

   5.- El resultado de cualquier observación es independiente del resultado de cualquier otra observación.

   
   

   La probabilidad de que el evento E ocurra x veces y el evento E' ocurra (n - x) veces en n ensayos independientes está dado por la fórmula binomial: 

   
   

   
   

   
   

   P(x,n,p)= n p^x q^n-x

    x

   
   

   
   
   

   donde:

   p = Probabilidad característica o probabilidad de éxito. 

   q = Probabilidad de fracaso

   
   
   

   x = Número de éxitos deseados

   
   

   n = Número de ensayos efectuados 

   
   

   
   

   
   

   PROBLEMAS DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

   
   

   Si se lanza 4 veces una moneda, calcular el evento "Número de águilas que caen." 

   
   

   
   

   
   

   datos:

   
   

   n = 4 ensayos.

   p = 1/2 probabilidad de éxito en un ensayo.

   q = 1 - p = 1− 1/2 = 1/2

   
   

   x = 0, 1, 2, 3, 4

   
   

   S = {lanzar 4 veces la moneda}

   A = {número de águilas que caen} 

   
   

   
   

   
   

   
   

   P(E0)= P(0,4, 1/2)= (4)(1/20)(1/24) = 1/16

   
   

   P(E1)=P(1,4, 1/2)=(4/1)(1/2)1(1/2)3 = 4/16

   
   

   P(E2)=P(2,4, 1/2)= (4/2)(1/2)2(1/2)2 = 6/16 

   
   

   P(E3)=P(3,4, 1/2)= (4/3)(1/2)3(1/2)1= 4/16

   
   

   
   

   
   

   
   

   DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA 

   
   

   Se emplea para calcular la probabilidad de obtener determinado número de éxitos en un espacio muestral de n ensayos; pero a diferencia de la distribución binomial es que los datos de la muestra se extraen sin reemplazo en una población finita. Por esto es que el resultado de una observación depende o es afectado por el resultado de cualquier otra u otras observaciones anteriores.

   
   

   Es decir la distribución hipergeométrica se emplea para muestreos sin reemplazo de una población finita cuya probabilidad de ocurrencia cambia a lo largo del ensayo.

   
   

   Dado un espacio muestral S de tamaño N con los subespacios M ⊂ N y (N - M) ⊂ N entonces, la probabilidad de que en n ensayos x pertenezca a M y (n - x) pertenezca a (N - M) está dada por: 

   
   
   

   
   

   P(x,N,M,n)=[(M/x)(N-M/x-n)] / (N/n)

   
   

   
   
   

   donde:

   
   

   N= El tamaño de espacio muestral S

   n= El número de ensayos
   
   

   M= El número de éxitos en el espacio muestral

   
   

   N - M= Número de fracasos del espacio muestral 

   
   

   x= Número de éxitos en la muestra

   n-x= Número de fracasos de la muestra. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA GENERALIZADA (MULTIVARIADA)

   
   

   
   

   Si N resultados pueden dividirse en la k celdas N1, N2, ..., Nk con k1 ,k2, ..., kn elementos respectivamente, entonces la distribución de probabilidad representa el número de elementos seleccionados en una muestra aleatoria de tamaño n, es:

    

   
   

   
   

   P(n;k1,k2,K,kn)= (N1/k1)(N2/k2)(Nn/kn) / (N/n)

   
   

   
   

   
   

   PROBLEMAS DE DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

   
   

   
   

   Si en una empresa se presentan para cubrir dos vacantes 13 aspirantes de los cuales 5 son hombres y 8 son mujeres, calcular " El número de hombres contratados."

   
   

   N = {13 aspirantes para cubrir 2 vacantes} 

   A = {Número de hombres contratados}

   E0  = Se contratan x0 = 0 hombres, equivale a contratar (n - x0) = 2 mujeres.

   E1  = Se contratan x1 = 1 hombres, equivale a contratar (n - x1) = 1 mujeres.

   E2  = Se contratan x2 = 2 hombres, equivale a contratar (n - x2) = 0 mujeres. 

   
   

   
   

   
   

   desarrollando

   
   

   N = 13 total de aspirantes

   
   

   M = 5 aspirantes hombres

   N-M = 8 aspirantes mujer

   n = 2 vacantes totales

   x = 0,1,2 hombres posibles a contratar 

   
   

   n-x = 2,1,0 mujeres posibles a contratar 

   
   

   
   

   
   

   P(E0) = P(0,13,5,2) = (5/0)(8/2) / (13/2) = 28/78 = 0.3588 = 35.88%

   
   

   P(E1)= P(1,13,5,2)= (5/1)(8/2) / (13/2) = 40/78 = 0.5128 = 51.28%

   
   

   P(E2) = P(2,13,5,2) = (5/2)(8/0) / (13/2) = 10/78 = 0.1282 = 12.82%

   
   

   
   

   
   

   
   

   Si en un refrigerador hay 12 envases de refrescos de los cuales son 10 de manzana, 5 de naranja y 4 de uva, cúal es la probabilidad de que al surtir un pedido de 7 envases tomados al azar 2 sean de manzana, 4 de naranja y 1 de uva.

   
   

   
   

   P(7;2,4,1) = (3/2)(5/4)(4/1) / (12/7) = 0.0758

   
   

   
   

   
   

   TEOREMA DE BAYES

   
   

   La interpretación más aceptada del teorema de Bayes, es que su estructura permite el calculo de probabilidades después de haber sido realizado un experimento (probabilidades aposteriori), basándose en el conocimiento de la ocurrencia de ciertos eventos que dependan del evento estudiado, o sea, se parte de probabilidades conocidas antes de efectuar el experimento (probabilidades apriori), las cuales son afectadas por las probabilidades propias del experimento (las que aparecen durante la ocurrencia del evento).

   
   

   Continuando nuestro análisis sobre el teorema de Bayes, la probabilidad condicional de A_i dado B, para cualquier i, es:

   
   
   

   

   
   

   Aplicando en el numerador la Regla de Multiplicación P(A_iÇB) = P(A_i) P(B|A_i) y en el denominador el Teorema de Probabilidad Total  P(B) = P(A₁) P(B | A₁) + P(A₂) P(B | A₂) + . .+ P(A_n) P(B | A_n), obtenemos la ecuación que representa al:

   
   

   

   
   

   
   

   
   

   PROBLEMAS TEOREMA DE BAYES

   
   

   Una fábrica que produce material para la construcción tiene 3 máquinas, a las que se les denomina A, B y C. La máquina A produce tabique, la B adoquín y la C losetas. La máquina A produce el 50% de la producción total de la fábrica, la B el 30% y la C el 20%. Los porcentajes de artículos defectuosos producidos por las máquinas son, respectivamente, 3%, 4% y 5%. Si se selecciona un artículo al azar y se observa que es defectuoso, encontrar la probabilidad de que sea un tabique.

   
   

   
   

   
   

   Solución

   Definamos el evento D como sea un artículo defectuoso. De acuerdo a esto tenemos que:

   
   

   P(A) = 0.5       P(D | A) = 0.03

   P(B) = 0.3       P(D | B) = 0.04

   P(C) = 0.2       P(D | C) = 0.05

   
   

   
   

   
   

   Si el artículo del que deseamos calcular la probabilidad es un tabique, significa que es producido por la máquina A. También observamos que en la solución solamente participan los artículos defectuosos, ya que se pone por condición esta característica. Por lo tanto:

   
   

   
   

   
   

   

   
   

   
   

   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   A un congreso asisten 100 personas, de las cuales 65 son hombres y 35 son mujeres. Se sabe que el 10% de los hombres y el 6% de las mujeres son especialistas en computación. Si se selecciona al azar a un especialista en computación ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?

   
   

   
   

   
   

   Solución

   Definamos los eventos:

   
   

   H: Sea un  hombre

   M: Sea una mujer

   E: La persona sea especialista en computación

   
   

   Tenemos que:

   
   

                   

                   

   
   

   
   

   
   

   
   

   Por lo tanto: