PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO

Si un evento puede realizarse de n1 maneras diferenres, y si, continuando el procedimiento, un segundo evento puede realizarse de n2 maneras diferentes, y si, después de efectuados, un tercer evento puede realizarse de n3 maneras diferentes, y así sucesivamente, entonces el número de maneras en que los eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto n1*n2*n3…

Notación Factorial

El producto de los enteros positivos desde 1 hasta n inclusive, se emplea con mucha frecuencia en matemáticas y lo denotamos por el símbolo especial n! (que se lee “n factorial”).

Problemas del principio fundamental del conteo

1.- Si hay que escoger un número de cuatro cifras que tenga todas sus cifras pares excepto cuatros y ochos, o todas sus cifras impares, excepto cincos y sietes, ¿De cuantas formas puede hacerse?

Solución:

Hay dos tipos de números que queremos contar: los que tienen dígitos pares y los que tienen dígitos impares. El principio de la adición dice que el total lo obtenemos sumando el total de cada caso.

Cuando todos son pares, hay cuatro posiciones _ _ _ _. En la primera posición tenemos que poner un número par que no sea 4 ni 8, pero tampoco cero (porque de lo contrario, el número ya no tendría cuatro cifras). Entonces tenemos dos opciones (2,6). Para las demás posiciones tenemos 3 opciones siempre (2,6,0). El total es 2 ×3^3 = 54.

Cuando todos son impares, como no podemos poner cincos ni sietes, tenemos 3 opciones para cada espacio: 1,3,9. En total hay 3^4 = 81 números de esta forma.

Entonces, el total pedido (usando el principio de la suma) es

54 + 81 = 135.

2.-¿Cuántos números de seis cifras hay que no tienen sus dígitos repetidos ?

Solución:

Tenemos seis espacios a llenar _ _ _ _ _ _ . En el primero, tenemos 9 opciones, porque no podemos poner al cero. En la segunda posición también tenemos 9 opciones, porque, aunque ya no podemos usar el numero que escogimos antes, ahora si podemos usar el cero. Para la tercera posición tenemos 8 opciones (de los 10 dígitos, ya usamos dos), para la cuarta posición hay 7 opciones, para la quinta 6 y para la ultima 5.

En total hay 9×9×8×7×6×5= 136080 números de seis cifras sin dígitos repetidos.

3.- Calcular 4!, 5!, 6!, 7! Y 8!.

Solución:

4!= 1 * 2 * 3 *4= 42

5!= 1 * 2 * 3 *4 * 5= 120

6!= 1 * 2 * 3 *4 * 5 * 6= 720

7!= 7 * 6!= 5040

8!= 8 * 7!= 40, 320

PERMUTACIONES

Esta permite que uno pueda calcular el numero de resultados experimentales al seleccionar r objetos de un conjunto n objetos, donde es importante el orden de selección. Si los mismos r objetos se seleccionan en otro orden se considera que se trata de un resultado experimental distinto . En las permutaciones si importa el orden

Regla de conteo para permutaciones

El numero de permutaciones de n objetos tomando r a la vez esta dado por

La regla de conteo para permutaciones tiene estrecha relación con la de las combinaciones. No obstante, un experimento tendrá mas permutaciones que combinaciones para el mismo numero de objetos porque cada selección de r objetos tiene n! formas distintas para ordenarlos.

Como ejemplo, considere de nuevo el proceso de control de calidad en que un inspector selecciona dos de cinco parte para hallar los defectos. ¿Cuantas permutaciones es posible seleccionar? La regla de conteo de ecuación muestra que con n=5 y r=2 se tiene

Por tanto, 20 resultados son posibles para el experimento de elegir al azar dos pares de un grupo de cinco cuando hay que tomar en cuenta el orden de selección.

Si marcamos las partes A,B,C, y E, las 20 permutaciones son:

AB,BA,AC,CA,AD,DA,AE,EA,BC,CB,BD,,DB,BE,EB,CD,DC,CE,EC,DE,E. 

Problemas de permutaciones

1.- Obtenga todas las señales posibles que se pueden diseñar con seis banderines, dos de los cuales son rojos, tres son verdes y uno morado.

Solución:

2..- Si un equipo de fútbol soccer femenil participa en 12 juegos en una temporada, ¿cuántas maneras hay de que entre esos doce juegos en que participa, obtenga 7 victorias, 3 empates y 2 juegos perdidos?

Solución:

3.-¿De cuántas maneras es posible plantar en una línea divisoria de un terreno dos nogales, cuatro manzanos y tres ciruelos?

Solución:

COMBINACIONES EN EL ANÁLISIS COMBINATORIO

 En la teoría combinatoria se estudia la manera de ordenar los elementos de un conjunto o la manera de agrupar sus elementos, según leyes diversas, proponiéndose en cada caso establecer formulas que permitan calcular el número de ordenaciones o el grupos que pueden formarse.

Supongamos que tenemos una colección de n objetos. Una combinación de estos n objetos tomados r a la vez, o una combinación r, es un subconjunto de r elementos. En otras palabras, una combinación r es una selección de r o de n objetos donde el orden no se tiene en cuenta.

Problemas de combinaciones en el análisis combinatorio

1.- Hay 4 autobuses que viajan entre “Las Palmeras” y el paradero de “2 de Mayo”. ¿De cuántas maneras una persona puede ir a las Palmeras y regresar en un autobús diferente?

A) 8                  B) 6               C) 10              D) 12

Solución:

La persona, para ir a “Las Palmeras” puede utilizar cualquiera de los 4 autobuses y para regresar podrá utilizar cualquiera de los 3 restantes, ya que no puede utilizar el mismo autobús de regreso.

Lo anterior indica que por cada manera que pueda escoger para ir, hay 3 posibilidades de regreso y como hay 4 maneras diferentes para ir a “Las Palmeras”, el número total de formas diferentes de realizar el viaje de ida y vuelta será:

# de maneras= 3 * 4= 12

2.- una persona posee 3 anillos distintos. ¿De cuántas maneras puede colocarlos en sus dedos de la mano derecha, colocando sólo un anillo por dedo, sin contar el pulgar?

A) 12             B) 24              C)36              D)36

Solución:

-El primer anillo se puede colocar en cualquiera de los 4 dedos.

-El segundo anillo se puede colocar en cualquiera de los 3 restantes.

-El tercer anillo se puede colocar en cualquiera de los 2 restantes.

Por Variación:

(El orden de colocación de anillos si importa)

3.- Un estudiante tiene que resolver 10 preguntas de 13 en un examen. ¿Cuántas maneras de escoger las preguntas tiene?

A) 286           B) 1, 037, 836      C) 65            D) 130

Solución:

Éste problema se trata de una combinación, ya que el estudiante puede empezar a resolver por cualquiera de las 13 planteadas.