TEMAS SELECTOS DE MATEMÁTICAS PRIMER PARCIAL

PROPIEDADES DE ORDEN DE LOS NÚMEROS REALES

Para todo a, b, c ∈ R se cumple que

a + b = b + a; ab = ba (Propiedad Conmutativa)

a + (b + c) = (a + b) + c; a(bc) = (ab)c. (Propiedad Asociativa) 

a+0=0+a=a; a∗1=1∗a=a (existencia del neutro) 

a+0=a; a∗1=a.(Existencia del neutro) 

Listamos las propiedades fundamentales de los números reales:

Para todo a, b, c ∈ R se cumple que

a + b = b + a; ab = ba (Propiedad Conmutativa)

a + (b + c) = (a + b) + c; a(bc) = (ab)c. (Propiedad Asociativa) 

a+0=0+a=a; a∗1=1∗a=a (existencia del neutro) 

a+0=a; a∗1=a.(Existencia del neutro) 

Listamos las propiedades fundamentales de los números reales:

Para todo a, b, c ∈ R se cumple que

a + b = b + a; ab = ba (Propiedad Conmutativa)

a + (b + c) = (a + b) + c; a(bc) = (ab)c. (Propiedad Asociativa) 

a+0=0+a=a; a∗1=1∗a=a (existencia del neutro) 

a+0=a; a∗1=a.(Existencia del neutro) 

Listamos las propiedades fundamentales de los números reales:

Para todo a, b, c ∈ R se cumple que

a + b = b + a; ab = ba (Propiedad Conmutativa)

a + (b + c) = (a + b) + c; a(bc) = (ab)c. (Propiedad Asociativa) a+0=0+a=a; a∗1=1∗a=a (existenciadelneutro) a+0=a; a∗1=a.(Existenciadelneutro)

Listamos las propiedades fundamentales de los números reales:

Para todo a, b, c ∈ R se cumple que

a + b = b + a; ab = ba (Propiedad Conmutativa)

a + (b + c) = (a + b) + c; a(bc) = (ab)c. (Propiedad Asociativa) 

a+0=0+a=a; a∗1=1∗a=a (existencia del neutro) 

a+0=a; a∗1=a.(Existencia del neutro) 

Existen propiedades más fundamentales con respecto a la definición elemental del símbolo ”>”, el cual además, puede ser interpretado de distintas maneras:

Diremos que a es mayor a b y lo simbolizamos por a > b si y sólo si

a − b es positivo. Diremos que b es menor que a y lo escribimos b < a si se cumple que a > b. 

Tricotomía.

Dados a y b ∈ R se cumple exactamente una de las siguientes afirmaciones:

a = b. a > b. a < b. 

Tricotomía. Dada a ∈ R se cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones:

a = 0.

a > 0. −a > 0. 

Transitividad. Dados a, b, c ∈ R si a>b

y entonces

b>c a>c 

Transitividad. Dados a, b, c ∈ R si a<b

y entonces

b<c a<c 

Densidad Dados a, b ∈ R si a > b entonces existen un elemento x ∈ R tal que a > x y x > b. 

Axioma del supremo 

Sea A ⊂ R tal que existe k ∈ R con la propiedad de que k > a para toda a ∈ R.

Entonces existe un elemento s ∈ R tal que cumple la propiedad anterior y además si k' es otro número que cumple la propiedad entonces s < k'. 

Si A ⊂ R tal que ∃k ∈ R con k > a∀a ∈ R entonces ∃s ∈ R tal que: s > a ∀a ∈ R

Sik>a ∀a∈R⇒k>s. 

Definición

Dado A ⊂ R decimos que k ∈ R es una cota superior de A si cumple que k > a para toda a ∈ A. 

Definición

Dado A ⊂ R decimos que s ∈ R es un supremo del conjunto A si s es la mínima cota superior de A. 

Axioma del supremo Dado A ⊂ R si A tiene al menos una cota superior entonces el supremos de A existe. 

Existen más propiedades que se pueden deducir fácilmente con ayuda de la definición y de las propiedades dadas hasta ahora:

Si a > b entonces a + z > b + z para toda z ∈ R Si a > b y z > 0 entonces az > bz.

Si a > b, entonces −a < −b. 

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

Una desigualdad es una expresión matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son:

≠ no es igual

< menor que

> mayor que

≤ menor o igual que

≥ mayor o igual que

  

De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber:

1º Todo número positivo es mayor que cero

Ejemplo:

5 > 0 ; porque 5 – 0 = 5

2º Todo número negativo es menor que cero

Ejemplo:

–9 < 0; porque –9 –0 = –9

3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto;

Ejemplo:

–10 > –30; porque -10 – (–30) = –10 +30 = 20

Una desigualdad que contiene al menos una variable se llama inecuación. 

Por ejemplo:

x + 3 < 7

(La punta del signo < siempre señala el menor)

Ejemplos:  3 < 4, 4 > 3 

Propiedades de las desigualdades

1. Una desigualdad no varía si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados:

a < b / ± c  (sumamos o restamos c a ambos lados)

a ± c < b ± c

Ejemplo

2 + x  >  16 

2 + x − 2 > 16 − 2

x  >  14

2. Una desigualdad no varía su sentido si se multiplica o divide por un número positivo:

a < b / • c (c > 0) (c es positivo, mayor que cero)

a • c < b • c

 a > b / • c (c > 0) (c es positivo, mayor que cero)

a • c > b • c

Ejemplo 

3 ≤ 5 • x   / :5

3/5 ≤ x esto es, todos los reales mayores o iguales que 3/5

3. Una desigualdad varía su sentido si se multiplica o divide por un número negativo:

a < b / • c (c < 0) (c es negativo, menor que cero)

a • c > b • c

a > b / • c (c < 0) (c es negativo, menor que cero)

a • c < b • c

Ejemplo 

15 – 3 • x ≥ 39

− 3 • x ≥ 39 – 15

x ≤ 24: (−3)

x ≤ − 8. Esto es, todos los reales menores o iguales que −8.

De manera recíproca, cuando la parte de la incógnita resulta negativa deben invertirse lo signos a ambos lados y cambiar el sentido de la desigualdad, ya que no puede haber desigualdades con incógnita negativa.