TEORÍA DE CONJUNTOS

Podemos definir de manera intuitiva a un conjunto, como una colección o listado de objetos con características bien definidas que lo hace pertenecer a un grupo determinado.

Para que exista un conjunto debe basarse en lo siguiente:

-La colección de elementos debe estar bien definida.
-Ningún elemento del conjunto se debe contar más de una vez, generalmente, estos elementos deben ser diferentes, si uno de ellos se repite se contará sólo una vez.
-El orden en que se enumeran los elementos que carecen de importancia.

Notación

A los conjuntos se les representa con letras mayúsculas A, B, C, ... y a los elementos con letras minúsculas a, b, c, ..., por ejemplo, el conjunto A cuyos elementos son los números en el lanzamiento de un dado.

A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

En base a la cantidad de elementos que tenga un conjunto, estos se pueden clasificar en conjuntos finitos e infinitos.

FINITOS: Tienen un número conocido de elementos, es decir, se encuentran determinados por su longitud o cantidad.

El conjunto de días de la semana

INFINITOS: Son aquellos en los cuales no podemos determinar su longitud.

El conjunto de los números reales

Existen dos formas comunes de expresar un conjunto y la selección de una forma particular de expresión depende de la conveniencia y de ciertas circunstancias siendo:

EXTENSIÓN: Cuando se describe a cada uno de los elementos.

A = {a, e, i, o, u}

COMPRENSIÓN: Cuando se enuncian las propiedades que deben tener sus elementos. A =

{x | x es una vocal}

Para describir si un elemento pertenece o no a un conjunto, se utiliza el símbolo de pertenencia o es elemento de, con el símbolo ∈, en caso contrario ∈

A = {1, 2, 3}

2 ∈ A; 5 ∈

Tipos de conjuntos

CONJUNTO VACÍO O NULO: Es aquel que no tiene elementos y se simboliza por ∅ o {}

A={x^2 +1=0|x∈ R}

El conjunto A, es un conjunto vacío por que no hay ningún número real que satisfaga a x^2 +1 = 0.

CONJUNTO UNIVERSAL: Es el conjunto de todos los elementos considerados en una población o universo, en un problema en especial. No es único, depende de la situación, denotado por U o Ω.

Relaciones entre conjuntos

IGUALDAD DE CONJUNTOS: Considerando el conjunto A y el conjunto B, si ambos tienen los mismos elementos, es decir, si cada elemento que pertenece a A también pertenece a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A.

A=B

SUBCONJUNTO: Si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B, entonces se dice que A es un subconjunto de B. Representado por el símbolo ⊂.

A ⊂ B o B ⊃ A

SUBCONJUNTOS PROPIOS: Se dice que es un subconjunto propio de A sí todos los elementos de un conjunto B se encuentran incluidos en él A, denotado por ⊆.

A ⊆ B o B ⊇ A

CONJUNTO POTENCIA: La familia de todos los subconjuntos de un conjunto se llama conjunto potencia. Si un conjunto es finito con n elementos, entonces el conjunto potencia tendrá 2^n subconjuntos.

A = {1, 2 }

El total de subconjuntos es:

2^2=4

{1,2}, {1}, {2}, { }

CONJUNTOS DISJUNTOS: Son aquellos que no tienen elementos en común, es decir, cuando no existen elementos que pertenezcan a ambos.

F = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

G = {a, b, c, d, e, f}

PARTICIÓN: Cuando un conjunto es dividido en subconjuntos mutuamente excluyentes y exhaustivos, se le denomina partición

OPERACIONES DE CONJUNTOS
-Unión.
-Intersección.
-Diferencia.
-Complemento.
-Producto cartesiano.

UNIÓN DE CONJUNTOS: Sean A y B dos subconjuntos cualesquiera del conjunto universal. La unión de A y B, expresada por A ∪ B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o pertenecen a B.

A ∪ B = {x | x ∈ A o x ∈ B}

INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS: Sean A y B dos conjuntos cualesquiera del conjunto universal. La intersección de A y B, expresada por A ∩ B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A y a B simultáneamente, es decir:

A ∩ B = {x | x ∈ A y x ∈ B}

DIFERENCIA DE CONJUNTOS O COMPLEMENTO RELATIVO: Sean A y B dos conjuntos cualesquiera del conjunto universal. La diferencia o complemento relativo de B con respecto a A, es el conjunto de los elementos que pertenecen a A, pero no pertenecen a B.

A - B = {x | x ∈ A, x ∈

Nota: A-B ≠ B-A

COMPLEMENTO ABSOLUTO O SIMPLEMENTE COMPLEMENTO: Sea A un subconjunto cualesquiera del conjunto universal. El complemento de A es el conjunto de elementos que perteneciendo al universo y no pertenecen al conjunto A, denotado por A’ o A^c.

A’={x | x ∈ U, x∈

Nota: A’ = U - A



PRODUCTO CARTESIANO: Sean A y B dos conjuntos, el conjunto producto o producto cartesiano expresado por A x B está formado por las parejas ordenadas (a, b) donde a ∈ A y b ∈ B.

A x B = {(a, b) | a ∈A y b ∈ B}

Leyes de conjuntos

DE IDEMPOTENCIA
A ∪ A=A           A ∩ A=A

ASOCIATIVA
(A  ∪ B)  ∪ C= A ∪ (B  ∪ C)
(A ∩ B)  ∩  C=  A ∩ (B ∩ C)

CONMUTATIVA
A ∪ B= B  ∪ A           A ∩ B= B ∩ A

DISTRIBUTIVA
A ∪ (B ∩ C)=  (A  ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C)=  (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

DE IDENTIDAD
A ∪ U= U          A ∩ U= A
A ∪ ∅= A           A ∩ ∅= ∅

DE INVOLUCIÓN
(A’)’ = A

DE COMPLEMENTO
A ∪ A’= U           A ∩ A’=∅
U’= ∅         ∅’= U

D’MORGAN
(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’            (A ∩ B)’= A’ ∪ B’

PRINCIPIO DE CONTEO
n (A ∪ B) =  n (A) + n (B)           A ∩ B = ∅
n (A ∪ B)= n (A) + n (B) – n (A ∩ B)           A ∩ B≠ ∅

Diagramas de Venn

Un diagrama de Venn es una representación pictórica de conjuntos en el plano. El conjunto universal U se representa por un rectángulo, cualquier otro conjunto se representa con un círculo. Una operación se representa mediante el sombreado de los elementos del conjunto.

Eventos

EXPERIMENTO ESTADÍSTICO: Es el proceso mediante el cual se genera un conjunto de datos y puede ser determinístico o aleatorio.

ESPACIO MUESTRAL: Son todos los posibles resultados que se obtienen de un experimento denotado por S o Ω.

S= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

EVENTO SIMPLE: Son los eventos constituidos por un sólo elemento.

A = {4}

EVENTO COMPUESTO: Es cualquier evento que se puede descomponer en dos o más eventos simples.

B= {2,4,6}

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES: Llamados también disjuntos, no pueden ocurrir simultáneamente, es decir, la ocurrencia de ellos excluye la ocurrencia de los otros.

A∩B=∅

EVENTOS INDEPENDIENTES: Cuando la ocurrencia o no ocurrencia de un evento no afecte la ocurrencia de otro evento.

EVENTOS DEPENDIENTES: Si los eventos A y B están relacionados de tal modo que la ocurrencia de B depende de la ocurrencia de A, entonces A y B son independientes.